Modelos de analítica

Análisis de Componentes Principales

Método para reducir la dimensionalidad de los datos cuando las variables son cuantitativas y existe presencia de correlación

Cómo funciona la técnica

Componentes principales

Reproducir la matriz original en menos dimensiones

Problema de Optimización

Enfoque de Hotelling (1933) o Pearson (1901)

Teorema de la factorización - SDV

Reproducir la matriz original en menos dimensiones.

Esquema de las componentes

Resumen

Interpretación en el espacio de las componentes

Interpretación en el espacio de las componentes

Flujo de trabajo

La gramática de las gráficas

Requiere de al menos 3 elementos:

• Datos
• aesthetics: variables.
• geometría

ggplot(data = datos, aes(x = _, y = _)) +
  geom_point()

Ejemplo

Usemos un conjunto de datos estándar del paquete modelr

library(pacman)
p_load(tidyverse, broom, modelr, 
       skimr, corrplot, psych, gt, gtsummary)

datos <- heights 

glimpse(datos)
skim(datos)

Diagramas de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = height, y = weight)) +
  geom_point() +
  labs(x = 'Estatura', y = 'Peso')

ggplot(data = datos, aes(x = income, y = age)) +
  geom_point(color = "lightblue", alpha=0.1) +
  labs(x = 'Ingreso', y = 'Edad') +
  theme_bw() 

ggplot(data = datos, aes(x = income, y = education)) +
  geom_point(color = "lightblue", alpha=0.1) +
  labs(x = 'Ingreso', y = 'Educación') +
  theme_bw() +
  facet_wrap(~sex, ncol = 2)

Correlación

vars <- datos |> select(height, weight, income, age, education)

cor(vars, use = "complete")

               height      weight      income          age    education
height     1.00000000  0.46819603  0.21795196 -0.018027269  0.064838443
weight     0.46819603  1.00000000  0.05247293 -0.014656703 -0.045021628
income     0.21795196  0.05247293  1.00000000 -0.023703215  0.394288235
age       -0.01802727 -0.01465670 -0.02370322  1.000000000 -0.005998421
education  0.06483844 -0.04502163  0.39428823 -0.005998421  1.000000000

vars <- datos |> select(height, weight, income, age, education)

r <- cor(vars, use = "complete")
corrplot(r)

# vignette("corrplot-intro")

Matriz de correlación

Puede ver una correlación en forma de matriz usando pairs.panels() del paquete psych

pairs.panels(vars, main="Matriz de correlaciones")

DASS 21

• El instrumento del DASS 21 permite construir una escala de Depresión, Ansiedad y Estrés (DASS-21). Investigue más sobre su contrucción y propiedades psicométricas. Una versión del instrumento puede ser consultada aquí

• Explore el conjunto del datos DASS21.sav el cual contiene los resultados para una muestra de 800 personas de Colombia realizada en el año 2022.

library(haven)

dass <- read_sav("datos/DASS21.sav")

Puede usar lapply(dass, function(x) attributes(x)$label) para ver las etiquetas de las preguntas.

Punto 1 - Taller

1. Grafique el diagrama de dispersión y calcule la correlación entre las variables cuantitativas de nivel de depresión, estrés y ansiedad.

2. ¿Considera que el grado de asociación se diferencia entre hombres y mujeres?, haga los gráficos de dispersión segmentados por sexo

3. Realice los análisis que le permitan concluir sobre la asociación entre la depresión y la satisfacción con la vivienda, trabajo, amigos, vecinos y el barrio.

4. Teniendo en cuenta que las variables sobre la participación en actividades no son cuantitativas, investigue y discuta sobre la forma en que podría identificarse alguna asociación con la depresión.

Conceptos básicos

• Sea \(y\) una variable de resultado, también llamada variable dependiente o variable de respuesta, y

Objetivos del modelamiento

Denominar a \(X\) como explicativa o predictora se debe a que el modeladmiento de datos tiene uno de dos propósitos:

• Modelamiento para explicar las relaciones: se usa cuando desea describir y cuantificar explícitamente la relación entre la variable de resultado \(y\) y un conjunto de variables explicativas \(X\), así como determinar la importancia de cualquier relación.

¿Qué objetivo se persigue?

En cada caso indique si el objetivo del modelo debe ser explicativo o predictivo. Suponga que tenemos interés en identificar:

Especificación del modelo

. . .

¿Es un buen modelo?

. . .

Análisis de los residuales

. . .

Pronósticos

. . .

Algoritmos

Algunos modelos son:

• Lineales: lm().

• Generalizados: glm().

• Bayesianos: stan_glm()

• Penalizados: glmnet()

• ML: tidymodels

Formulación del modelo

\[ y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{i} + \varepsilon_i\]

En donde

• \(y\) es una variable cuantitativa.
• \(\beta_0\) es el valor esperado en \(y\) cuando \(X=0\)
• \(\beta_1\) representa el incremento o decremento en \(y\) por cada unidad de cambio en \(X\)
• \(\varepsilon_i\) es el componente del error.

Estimación de los parámetros

• Puntos: Valores observados
• Recta: Valores ajustados

Estimación de los parámetros

\[Y_i = \hat{Y}_i + (Y_i - \hat{Y}_i) = \hat{Y}_i + e_i \]

Ejemplo

Considere nuevamente los datos del paquete modelr

modelo1 <- lm(income ~ education, data = datos)

library(gtsummary)
tbl_regression(modelo1, intercept = TRUE)

Visualización

ggplot(datos, aes(x = education, y = income)) +
  geom_point() +
  labs(x = "Años de educación", y = "Ingreso anual",
       title = "Relación entre el ingreso y los años de educación") +  
  geom_smooth(method = "lm", formula = 'y ~ x') + 
  theme_classic()

¿Es bueno el modelo?

Descomposición de la varianza

Bondad del ajuste

El coeficiente de determinación es un indicador entre 0 y 1:

\[\sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y}_i)^2 = \sum_{i=1}^n (Y_i - \hat{Y})^2+ \sum_{i=1}^n e^2\]

Bondad del ajuste

tab <- modelo1 |> glance() 
gt::gt(tab)

tbl_regression(modelo1, intercept = TRUE) |> 
  add_glance_table(include = c(r.squared, p.value))

Variable explicativa categórica

Podemos preguntarnos si el ingreso depende del sexo de la persona. Para ello es clave que la variable categórica sea de clase factor.

class(datos$sex)

[1] "factor"

levels(datos$sex)

[1] "male"   "female"

datos$sex <-relevel(datos$sex, ref = "male") 

modelo2 <- lm(income ~ sex, data = datos)

Resultados

tbl_regression(modelo2, intercept = TRUE) |> 
  add_glance_table(include = c(r.squared, p.value))

• ¿Por qué no hay coeficiente para los hombres?. Escriba la ecuación del modelo.
• ¿Cómo se interpreta el coeficiente de las mujeres y su valor p?
• ¿Qué se puede decir acerca de la bondad del ajuste?

Punto 2 - Taller: DASS21

1. Ajuste los modelos de regresión simple para interpretar las relaciones entre:

• Depresión y Satisfacción con su trabajo
• Ansiedad y Satisfacción con su trabajo
• Estrés y Satisfacción con su trabajo

2. Interprete los coeficientes de los modelos ajustados y discuta la bondad del ajuste.

Punto 3 - Taller: DASS21

Ajuste un modelo de regresión simple que le permita identificar si el puntaje de depresión se relaciona con el sexo

1. Convierta la variable sexo en factor así: dass$sexo <- as_factor(dass$sexo)

2. Ajuste el modelo de regresión y presente los resultados.

3. Interprete los coeficientes y el valor p.

Formulación del modelo

\[y_i = \beta_0 + \beta_1 X_{1i} + \beta_2 X_{2i} + \cdots + \beta_k X_{ki} + \varepsilon_i\]

Ejemplo

Ajuste un modelo para el ingreso en función de las variables de años de eduación, sexo y estado civil.

modelo3 <-lm(income ~ education + sex + marital, data = datos)

Resultados

tbl_regression(modelo3, intercept = TRUE) |> 
  add_glance_table(include = c(r.squared, p.value))

Análisis de los supuestos

Que no se cumplan los supuestos puede afectar varios aspectos: sesgos, problemas de pronóstico, error de contraste.

Análisis de los supuestos

par(mfrow = c(2, 2))
plot(modelo3)

Análisis de los supuestos

plot(modelo3, 1)

plot(modelo3, 3)

plot(modelo3, 2)

plot(modelo3, 4)

Análisis de los supuestos

ajuste <- augment(modelo3)

ajuste |> 
  slice_max(.cooksd, n=3)

# A tibble: 5 × 11
  .rownames income education sex   marital .fitted .resid    .hat .sigma .cooksd
  <chr>      <int>     <int> <fct> <fct>     <dbl>  <dbl>   <dbl>  <dbl>   <dbl>
1 2654      343830        16 male  widowed  75805. 2.68e5 0.00696 49015. 0.0300 
2 1108      343830        20 fema… single   72478. 2.71e5 0.00217 49013. 0.00949
3 2550      343830        20 male  single   99058. 2.45e5 0.00222 49033. 0.00792
4 4973      343830        20 male  single   99058. 2.45e5 0.00222 49033. 0.00792
5 5060      343830        20 male  single   99058. 2.45e5 0.00222 49033. 0.00792
# ℹ 1 more variable: .std.resid <dbl>

Punto 4 - Taller: DASS 21

1. Ajuste un modelo de regresión lineal múltiple con al menos 3 variables explicativas que resulten significativas para modelar el puntaje de depresión. Escriba la ecuación, interprete los coeficientes, revise los supuestos y concluya.

2. Ajuste un modelo de regresión lineal múltiple con al menos 3 variables explicativas que resulten significativas para modelar el puntaje de estrés. Escriba la ecuación, interprete los coeficientes, revise los supuestos y concluya.

Reglas

• Se deben realizar los 4 ejercicios propuestos a lo largo de la sesión.
• El trabajo se debe realizar en parejas.
• Fecha de entrega: 23 de septiembre.
• Debe entregar un documento PDF o Word con un script reproducible en R o R-markdown.
• Si existen dos trabajos exactamente iguales, la nota será dividida entre el número de personas involucradas..